【行列式如何展開】行列式是線性代數(shù)中的一個重要概念，常用于判斷矩陣是否可逆、求解線性方程組等。在計算行列式時，常見的方法之一是“按行或按列展開”，也稱為拉普拉斯展開（Laplace Expansion）。本文將對行列式的展開方式進(jìn)行總結(jié)，并通過表格形式進(jìn)行對比說明。
一、行列式展開的基本原理
行列式的展開是指將一個n階行列式分解為若干個(n-1)階行列式的組合，從而逐步簡化計算過程。展開的核心在于余子式和代數(shù)余子式的使用。
- 余子式：去掉某一行一列后得到的子式的行列式。
- 代數(shù)余子式：余子式乘以符號因子 $ (-1)^{i+j} $，其中i和j分別為所在行和列的索引。
二、行列式展開的兩種方式
| 展開方式 | 展開對象 | 公式表達(dá) | 特點 |
| 按行展開 | 第i行 | $ \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij} $ | 適用于任意行，選擇0較多的行可簡化計算 |
| 按列展開 | 第j列 | $ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij} $ | 適用于任意列，選擇0較多的列可簡化計算 |
其中，$ a_{ij} $ 是原行列式中第i行第j列的元素，$ C_{ij} $ 是對應(yīng)的代數(shù)余子式。
三、展開步驟總結(jié)
1. 選擇一行或一列：優(yōu)先選擇含有較多0的行或列，以減少計算量。
2. 計算每個元素的代數(shù)余子式：
- 計算對應(yīng)的余子式（去掉該元素所在的行和列后的子式）；
- 乘以符號因子 $ (-1)^{i+j} $。
3. 相加求和：將每個元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式相乘后相加，得到最終結(jié)果。
四、示例說明（3×3行列式）
設(shè)行列式為：
$$
D =
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
$$
若按第一行展開：
$$
D = a \cdot
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i \\
\end{vmatrix}
- b \cdot
\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i \\
\end{vmatrix}
+ c \cdot
\begin{vmatrix}
d & e \\
g & h \\
\end{vmatrix}
$$
即：
$$
D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
五、注意事項
- 展開時應(yīng)確保每一步計算準(zhǔn)確，尤其是符號的處理。
- 若行列式中有大量0元素，應(yīng)優(yōu)先選擇對應(yīng)位置的行或列進(jìn)行展開。
- 對于高階行列式（如4×4及以上），通常采用遞歸展開法或利用行列式的性質(zhì)（如三角化）來簡化計算。
六、總結(jié)
| 項目 | 內(nèi)容 |
| 行列式展開方式 | 按行展開、按列展開 |
| 核心概念 | 余子式、代數(shù)余子式 |
| 優(yōu)勢 | 簡化高階行列式的計算 |
| 建議 | 選擇含0較多的行或列進(jìn)行展開 |
| 應(yīng)用場景 | 矩陣求逆、線性方程組求解、特征值計算等 |
通過合理選擇展開方式，可以有效提高行列式計算的效率與準(zhǔn)確性。